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La relation d’Euler permet d’exprimer une fonction exponentielle complexe comme la somme de deux fonctions trigonométriques, dont une partie réelle et l’autre complexe :

Pour démontrer cette relation, développons la fonction exponentielle en séries de Taylor autour de 0 :

Sous forme de sommation, et en remplaçant les par des constantes an on a :

Pour généraliser, remplaçons x par :

On remarque que les sommations sont respectivement les développements en séries de Taylor des fonctions cosinus et sinus. On peut alors noter le résultat comme suit :

Ce qui complète la démonstration.