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de solution d'une Eq. Diff du deuxième ordre de premier degré |
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Question : Pourquoi suppose-t-on toujours une forme exponentielle comme forme de solution à une équation différentielle linéaire à coefficients constants et homogène? Soit une équation différentielle linéaire
homogène du deuxième ordre (le résultat s’applique
à une équation d’ordre n, mais nous allons traiter
l’équation du deuxième ordre pour simplifier
les calculs) : Nous cherchons une fonction y qui, lorsque dérivée
le nombre de fois nécessaires et remplacée dans l’équation
précédente, vérifiera l’équation. Tout ce que nous savons au départ c’est
que y est une fonction de x : Développons cette fonction inconnue en séries de Taylor autour d’un point x0:
Comme la fonction donne une constante an lorsque évaluée en un point x0, on peut réécrire l’équation précédente comme suit :
Donc:
qui est le développement de Taylor
de la fonction exponentielle, d’où la supposition
d’une forme exponentielle
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comme solution à l’équation différentielle!